第八章网络函数

1. 网络函数与频率特性

频率特性(频率响应)

电路和系统的工作状态随频率变化的现象.

网路函数

\[ H(j\omega) = \frac{\dot{R}_k(j\omega)}{\dot{E}_{sj}(j\omega)} \]

响应: \(\dot{R}_k(j\omega)\) 为输出端口 \(k\) 的响应,
正弦激励: \(\dot{E}_{sj}(j\omega)\) 为输入端口 \(j\) 的 正弦激励

\(H(j\omega)\) 为复数, 可表示为 \(|H(j\omega)|\angle\varphi(j\omega)\), 故引入

幅频特性: 网络函数的模 \(|H(j\omega)| = U_C/U\)
相频特性: 网络函数的辐角 \(\theta(\omega) = \Psi_C - \Psi\)

网络函数等于单位激励时的响应.

RC 回路的固有频率(自然频率)

\[ \omega_0 = \frac{1}{RC} \]

截止频率 (3dB 点, 半功率点)

网络函数的模值, 下降到通带模值的 \(1/\sqrt{2}\) 时的频率, 记为 \(\omega_c\).

通带

希望保留的频率范围

阻带

希望抑制的频率范围

1.1. 网络类型

低通
高通
带通
带阻

2. RLC 串联电路的谐振

谐振

对于含电感和电容的 一端口电路, 如果在一定条件下呈 纯阻性, 即端口电压与端口电流 同相位 (\(\psi_u - \psi_i = 0\)), 则称此一端口发生谐振.

对于 RLC 串联电路, 输入阻抗 \(Z(j\omega) = R + j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)\) 谐振时有: \(\Im (Z) = 0\), 可得

谐振角频率 \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\); 则谐振频率 \(f_0 = 2\pi/\sqrt{LC}\)

可知 RLC 串联电路的谐振频率唯一且仅与电路中 L, C 有关

2.1. 串联谐振特点:

\(Z(j\omega_0) = R\), 容抗与感抗抵消; \(|Z(j\omega_0)|\) 为最小值
谐振电流 \(\dot{I}_0 = \dot{U}_S/R\) 取得最大值; \(\dot{I}(j\omega_0)\) 与 \(\dot{U}(j\omega_0)\) 同相.
\(\dot{U}_R = \dot{U}_S\); \(\dot{U}_X(j\omega_0) = \dot{U}_L(j\omega_0) + \dot{U}_C(j\omega_0) = 0\). 其中 \(\dot{U}_L\) 和 \(\dot{U}_C\) 不为零.

2.1.1. 品质因素

品质因素: 谐振时电感无功(电容无功的绝对值)与谐振时平均功率比 \[Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\] 可得: \(U_L(j\omega_0) = U_C(j\omega_0) = QU_S(j\omega_0)\)

2.1.2. 特性阻抗

电阻转移电压比 : \[ H_R(j\omega) = \frac{\dot{U}_R(j\omega)}{\dot{U}_S(j\omega)} = |H_R(j\omega)|\angle\varphi(j\omega) \]
电阻幅频特性 : \[|H_R(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2 \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right)^2}}\] 为带通网络, 其通带 \(BW = \omega_{c_2} - \omega_{c_1} = \omega_0/Q\)
电阻相频特性 : \[ \varphi(j\omega) = - \arctan Q \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right) \]

同理可得

电感幅频特性: \[|H_L(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{\omega_0}{\omega} \right)^2 + Q^2 \left[ 1 - \left( \frac{\omega_0}{\omega} \right)^2 \right]^2}} \] 为高通网络
电容幅频特性: \[|H_L(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{\omega}{\omega_0} \right)^2 + Q^2 \left[ \left( \frac{\omega}{\omega_0} \right)^2 \right - 1]^2}} \] 为低通网络

3. GLC 并联电路的谐振

谐振时, \(\Im \left[ Y(j\omega_0) \right] = 0\) 解得

谐振角频率 \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]
品质因素 \[Q = \frac{1}{G}\sqrt{\frac{C}{L}}\]

谐振特性由对偶原理不难从串联电路谐振特性推出.

4. RL(线圈)与 L 并联谐振

谐振角频率: \[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\cdot \sqrt{1 - \frac{CR^2}{L}} \] 此时电路输入导纳不是最小值,故端电压不是最大值.

第八章 网络函数

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